Elektrotechnik – 6. Wechselstrom I

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

6. Wechselstrom

1. Grundlegende Begriffe und Kennwerte
2. Komplexe Wechselstromrechnung
3. Wechselstromwiderstände (Impedanz, Admittanz)
4. Grundschaltungen
5. Leistung (Wirk-, Blind-, Scheinleistung)
6. Blindleistungskompensation
7. Resonanz und Frequenzverhalten

Wechselstrom: Grundlagen

Periodische Größen:

• Sich zeitlich wiederholende physikalische Größen
• Periodendauer →
• Frequenz: , Kreisfrequenz:

Wechselgrößen:

Periodische elektrische Größen mit verschwindendem arithmetischem Mittelwert

Wechselgrößen: Eigenschaften

Fourier-Analyse: Jede Wechselgröße kann als Überlagerung von Sinusvorgängen dargestellt werden

→ Es genügt, sinusförmige Größen zu verstehen!

Arithmetischer Mittelwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen gilt:

Gleichrichtwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen:

Anschaulich: der Mittelwert der gleichgerichteten Größe – das, was ein Gleichrichter aus der Wechselgröße macht.

Effektivwert: Definition

Physikalischer Hintergrund: derjenige Wert einer Wechselgröße, der in seiner Wirkung bei Energieumformung einem Gleichstrom entspricht:

Allgemeine Definition (quadratischer Mittelwert, RMS):

Effektivwert für Sinusschwingungen

Beispiele:

• Netzspannung: →
• Haushaltssicherung: →

Der Effektivwert wird von Messgeräten angezeigt!

Zusammenfassung: Kennwerte von Wechselgrößen

Notation ab jetzt: Kleinbuchstaben = Zeitverläufe; = Amplituden; (ohne Index!) = Effektivwerte

Aufgabe 17: Effektivwert

a) Ein Oszilloskop zeigt eine sinusförmige Spannung mit Spitzenwert . Was zeigt ein Multimeter an?

b) Eine Rechteckspannung springt periodisch zwischen und (je halbe Periode). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert, den Gleichrichtwert und den Effektivwert aus den Definitionen.

c) Warum gilt die Faustregel hier nicht?

Zeigerdarstellung

Sinusförmige Wechselgrößen können als rotierende Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden.

Zeigereigenschaften:

• Winkelgeschwindigkeit:
• Länge: Amplitude (oder Effektivwert, s.u.)
• Winkel zum Zeitpunkt :

Komplexe Zahlen: Grundlagen

Imaginäre Einheit (in der Elektrotechnik als notiert – ist der Strom!):

Komplexe Zahl:

mit Realteil und Imaginärteil

Euler’sche Formel

Wichtige Spezialfälle (auswendig!):

Komplexe Darstellung

Anstatt mit trigonometrischen Funktionen zu rechnen, verwenden wir die Exponentialfunktion:

Reale Zeitfunktion:

Bei einer festen Frequenz rotieren alle Zeiger gleich schnell → der Faktor kürzt sich aus allen Gleichungen → wir rechnen nur mit Festzeigern!

Bezugsfunktion ist ab hier der Kosinus (er ist der Realteil von ). Sinusgrößen rechnet man um mit .

Konvention: Amplituden- oder Effektivwertzeiger?

Zwei verbreitete Konventionen für die Zeigerlänge:

• Amplitudenzeiger:
• Effektivwertzeiger: mit

In der Prüfung (und in der Energietechnik allgemein) sind Effektivwertzeiger üblich: „ (komplexer Effektivwert)".

Für Impedanzen ist es egal (Quotient!) — für die Leistung nicht: gilt mit Effektivwertzeigern (mit Amplitudenzeigern: Faktor ).

Darstellungsformen

Komponentenform (kartesisch):

Polarform (Exponentialform):

Umrechnung:

• Betrag:
• Phase: (Quadrant prüfen!)
• Realteil: ; Imaginärteil:

Konjugiert komplexe Zahl

Eigenschaften:

• (reell!)

Rechenregeln

Addition/Subtraktion → Komponentenform:

Multiplikation → Polarform: Beträge multiplizieren, Phasen addieren:

Division → Polarform: Beträge dividieren, Phasen subtrahieren:

(in Komponentenform: mit konjugiertem Nenner erweitern)

Faustregel: addieren kartesisch, multiplizieren polar!

Aufgabe 18: Komplexe Zahlen

Gegeben: und

a) Zeichnen Sie beide Größen als Zeiger im Zeigerdiagramm.
b) Stellen Sie und in kartesischer Form dar.
c) Wandeln Sie beide in Polarform um.
d) Berechnen Sie in beiden Darstellungen.
e) Vergleichen Sie die Ergebnisse: Was fällt auf?